\section{Un système thermodynamique}

\subsection{Définition}

Un système thermodynamique est un ensemble de molécules ou atomes.
On peut les classer en trois catégories:
\begin{itemize}
\item un système isolé: aucun échange avec l'extérieur;
\item un système fermé: pas d'échange de matière, échange d'énergie sous 
        forme de chaleur ($Q$) ou travail ($W$) possible;
\item un systèm ouvert: tout échange possible.
\end{itemize}

Une transformation thermodynamique est le passage d'un système d'un
état initial à un état final. Elle se note: 
\[
\ce{Initial ->[\tau]  Final}
\]

\subsection{Une équation d'état}

Une équation d'état est une équation qui relie
des quantités physiques entre elles, toujours vrai
quel que soit l'état du système. Les variables
concernées sont la température ($T$), le
volume ($V$), la pression ($P$) et la quantité
de matière ($n$). Une transformation est:
\begin{itemize}
\item isochore  si $V$ constant,
\item isotherme si $T$ constant,
\item isobare   si $P$ constant.
\end{itemize}

\subsection{\'Echange d'énergie}

Une transformation est dîte:
\begin{itemize}
\item réversible si elle peut avoir lieur dans les deux sens;
\item adiabatique si $\delta Q = 0$;
\item quasi-statique si l'on passe par une infinité d'états à l'équilibre;
\item monotherme si le système est en contact avec source chaleur.
\end{itemize}
Par convention, on se place toujours du point de vue du système,
par conséquent une énergie reçue est positive, une énergie
donnée est négative.
On échange de l'énergie soit par un travail $W$ ou de la chaleur $Q$.

Le travail considéré est le travail des forces de pression, d'où
\[
\delta W = - P_\text{ext} \dd V
\]
\[
\delta Q = n C_{V/P}\dd T
\]

\section{gaz parfait}

\subsection{hypothèses et définition}

Un gaz parfait se caractérise par:
\begin{itemize}
\item volume atome/molécule nul
\item aucune interaction entre les molécules/atomes
\item $P V = n \mathrm{R} T$
        \begin{itemize}
        \item $[P] = \unit{Pa}$
        \item $[V] = \unit{m^3}$
        \item $[n] = \unit{mol}$
        \item $\mathrm{R} =\numprint{8.3144621}(75)~\unit{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$
        \end{itemize}
\end{itemize}
%
\begin{Remarque}
$\mathrm{R} = \mathcal{N}_a k$ avec $k$ la constante 
de Boltzmann ($\numprint{1.3806488} (13)\,10^{-23}~\unit{J\,K^{-1}}$)
et $\mathcal{N}_a$ la constante d'Avogadro 
($\numprint{6.02214129} (27)\,10^{23}~\unit{mol^{-1}}$).
\end{Remarque}

\section{Premier principe}

\subsection{\Cv\ et \Cp}

Quantité de chaleur nécessaire pour augmenter de 1 degré la température
d'une mole de l'atome ou molécule considéré à volume (\Cv) ou pression
(\Cp) constant. Dimension: \unit{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}

\subsection{Fonction d'état}

C'est une fonction qui caractérise un état d'équilibre, et lors d'une transformation,
\emph{sa variation ne dépend que de l'état final et l'état initial}. On peut donc
étudier une transformation en ne connaissant uniquement les états initial et final,
sans se soucier des états intermédiaires.
\begin{itemize}
\item \'Energie interne 
        \[\begin{split}
          U & = Q + W \\
      \dd U & = \delta Q + \delta W
        \end{split}\]
\item Enthalpie: 
        \[\begin{split}
                H & = U + PV, \\
            \dd H & = \dd U + \dd (VP) \\
                  & = \dd U + V \dd P + P \dd V
          \end{split}\]
\end{itemize}
%
On déduit:
\begin{itemize}
\item $\Cv = \frac{1}{n} \left(\frac{\delta U}{\delta T}\right)_V$
\item $\Cp = \frac{1}{n} \left(\frac{\delta H}{\delta T}\right)_P$
\end{itemize}
%
Pour un gaz parfait, $U$ ne dépend que de $T$. Par conséquent, si une
transformation est isotherme, $\dd U = 0$.

\section{Les relations à retenir}

\subsection{$\Cp - \Cv = \Rgp$}

Pour un gaz parfait, on considère la transformation:\\
initial: $P_1$, $T_1$, $V_1$ \ce{->} final: $P_1$, $T_2$, $V_2$

$\dd U = \delta Q + \delta W$ avec
 $\delta Q = n \Cp \dd T$ et
 $\delta W = -P_\text{ext} \dd V$, 
avec $P$ constante et système à l'équilibre donc $P_\text{ext} = P$.
%
\[
\dd U = n \Cp \dd T - P \dd V
\]
%
Passons par l'état intermédiaire $V_1$, $P_a$, $T_2$,
\begin{enumerate}
\item $\delta Q_1 = n \Cv \dd T$, $\delta W_1 = 0$;
\item isotherme, donc $\delta Q_2 + \delta W_2 = 0$.
\end{enumerate}
D'où 
\[
\dd U = n \Cv \dd T
\]
donc $n \Cv \dd T = n \Cp \dd T - P \dd V$, or 
$P V = n \Rgp T$, à $P$ constante, on a
$P \dd V = n \Rgp \dd T$, donc
\[
\Cp - \Cv = \Rgp
\]

Ceci permet de faire:
\begin{itemize}
\item $P$ constant: 
        \[\begin{split}
                \delta Q & = n \Cp \dd T \\
                         & =  n \Rgp \dd T + n \Cv \dd T \\
                         & = n \Cv \dd T + P \dd V
           \end{split}\]
\item $V$ constant: 
        \[\begin{split}
                \delta Q & = n \Cv \dd T \\
                         & = -n \Rgp \dd T + n \Cp \dd T \\
                         & = n \Cp \dd T - V \dd P
          \end{split}\]
\end{itemize}

\subsubsection{$P V^\gamma = \text{cst}$}

Transformation adiabatique:\\
%
$\delta Q = 0$, soit 
$\delta Q_{V\text{ constant}} = 0$, donc 
$n \Cp \dd T - V \dd P = 0$, d'où
\[
\dd T = \frac{V \dd P}{n \Cp} = \frac{V \dd P}{\Cv n \gamma}
\]
%
$\delta Q_{P\text{ constant}}$, donc 
$n \Cv \dd T + P \dd V = 0$, en remplaçant $\dd T$:
\[
\begin{split}
                & n \Cv \frac{V \dd P}{\Cv n \gamma} + P \dd V = 0 \\
\Leftrightarrow & \gamma \frac{\dd V}{V} = -\frac{\dd P}{P}
\end{split}
\]
%
En intégrant: 
        $\ln{\frac{P_f}{P_i}} + \ln{\frac{V_f^\gamma}{V_i^\gamma}} = 0$,
soit 
        $\ln{\frac{P_f V_f^\gamma}{P_i V_i^\gamma}} = 0$, 
d'où 
\[
\begin{split}
                & P_f V_f^\gamma = P_i V_i^\gamma \\
\Leftrightarrow & P V^\gamma = \text{cst}
\end{split}
\]

\paragraph{Corollaire} 
\newcommand{\cst}{\ensuremath{\mathrm{C}}}
Transformation réversible adiabatique d'un gaz parfait: 
on pose $P V^\gamma = \cst$, on considère la 
transformation ($P_1$, $V_1$, $T_1$) \ce{->[\tau_\text{adia}]} ($P_2$, $T_2$, $V_2$)
\[
\begin{split}
                & \delta Q = 0 \\
                & \begin{split}
                    W & = - P_\text{ext}\dd V             \\
                             & = - P \dd V                       \\
                             & = \mathrm{C}\frac{\dd V}{V^\gamma} 
                  \end{split}\\
\Rightarrow      W & = - \cst \int_{V_1}^{V_2}\frac{\dd V}{V^\gamma}                     \\
\Leftrightarrow  W & = - \cst \left[ \frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma} \right]_{V_2}^{V_1}  \\
\Leftrightarrow  W & = \frac{\cst V_2^{1-\gamma} - \cst V_1^{1-\gamma}}{\gamma-1}       \\
\Leftrightarrow  W & = \frac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{\gamma - 1}                             \\
\Leftrightarrow  W & = n \Rgp\frac{\Delta T}{\gamma - 1}                                \\
\Leftrightarrow  W & = n \Delta T \dfrac{\Cp - \Cv}{\frac{\Cp - \Cv}{\Cv}}              \\
\Leftrightarrow  U & = n \Cv \Delta T
\end{split}
\]
Ou encore, par l'état intermédiaire a ($V_2$, $T_1$, $P_a$):
\begin{enumerate}
\item[1 à a] $\delta U = 0$
\item[a à 2] $\delta W = 0$, $\delta Q = n \Cv \dd T \Rightarrow Q = n \Cv \Delta T$
\end{enumerate}
D'où 
\[
\Delta U_\text{adiabatique} = n \Cv \Delta T
\]
